1.1.3. Уравнения статора и ротора в векторной форме

Уравнения Кирхгофа для фазных напряжений статора АД имею вид

                                                     (1)

При наличии нулевых составляющих к выражениям (1) следует добавить уравнение .

Перейдем к векторной форме записи выражений (1), умножив второе уравнение на , а третье на , а затем складывая все три уравнения и умножая их правую и левую части на 2/3. В результате получим

                    (2)

Аналогичные преобразования можно выполнить в системе координат  и для фаз ротора, получив при этом

                                                                      (3)

Уравнения (2) и (3) записаны в разных системах координат. Для перевода уравнения ротора в неподвижную систему координат  умножим обе его части на оператор поворота системы координат – и представим вектор потокосцепления ротора как . После преобразований, опуская индексы координатной системы, получим уравнение ротора в системе координат статора

                               (4)

где  – текущая скорость вращения ротора.

Переход к неподвижной системе координат в уравнении ротора привел к разложению слагаемого, соответствующего ЭДС индукции, на две составляющие: первая составляющая  связана с изменением потокосцепления во времени вследствие изменения во времени токов и называется ЭДС трансформации, по аналогии с процессами ее возбуждения в соответствующей электрической машине; вторая –  связана с изменением потокосцепления вследствие вращения ротора и называется ЭДС вращения. Разложение ЭДС индукции на составляющие является математической операцией, связанной с преобразованием системы координат при условии инвариантности мощности и в некоторых случаях это разложение можно истолковать, исходя из физических процессов в машине.

Уравнения (2) и (4) записаны для неподвижной системы координат и их можно объединить в общую систему для решения. Кроме того, оба этих уравнения можно представить в некоторой произвольной системе координат , вращающейся с произвольной угловой частотой . Для этого с ними нужно проделать преобразования аналогичные преобразованиям выполненным при выводе выражения (4), в результате которых мы получим уравнения статора и ротора электрической машины:

                       (5)

Из этих уравнений получаются уравнения для любых других систем координат простой подстановкой соответствующей частоты вращения .

Выражения (5) показывают, что выбором системы координат можно упростить задачу, исключив ЭДС вращения, но только в одном из уравнений. Полагая , мы получим уравнения в неподвижной системе координат и исключим ЭДС вращения в уравнении статора, а в системе координат, вращающейся синхронно с ротором (), ЭДС вращения обращается в нуль в уравнении ротора.

В дальнейшем мы будем использовать индексы систем координат приведенные в приложении 3:

В любой электрической машине угловая частота вращения магнитного поля статора  связана с угловой частотой вращения магнитного поля ротора и угловой частотой вращения ротора  следующим соотношением – , где положительный знак соответствует согласному направлению вращения. Но частоты вращения полей статора и ротора определяются частотами соответствующих токов и числом пар полюсов обмоток , т.е. и , где  и  – частоты токов статора и ротора. Отсюда

                                   (6)

где – угловая частота вращения ротора электрической машины с одной парой полюсов.