В тех случаях, когда требуется учесть процессы в электрическом и магнитном поле электрическая цепь содержит реактивные элементы обоих типов. Простейшим вариантом такой цепи является последовательное соединение  (рис. 1).

Уравнение Кирхгофа для этой цепи после замыкания ключа

Возьмем производную по времени от обеих частей уравнения с учетом постоянной ЭДС

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (2) можно получить заменой производных по времени на

где  - величина равная половине величины затухания  при резонансе в этой цепи; - волновое сопротивление цепи, а - угловая частота, на которой в цепи рис. 1 возникает резонанс. В дальнейшем сохраним для  название затухания.

Корнями этого характеристического уравнения являются

                         (1)

Таким образом, корни характеристического уравнения являются функцией затухания  и резонансной частоты , значения которых, в свою очередь, определяются параметрами цепи . Резистивное сопротивление  входит только в выражение для затухания и при вариации  резонансная частота будет сохраняться постоянной. Поэтому при анализе корней затухание можно считать независимой переменной, а резонансную частоту константой, т.к. эти условия можно реализовать изменением .

Из выражения (1) следует, что корни могут быть вещественными отрицательными, если , или комплексно-сопряженными, если . Для второго случая их можно представить в виде

,                                (2)

где  безразмерная величина, которую можно назвать относительной частотой.

 

Если затухание цепи , то оба корня отрицательные вещественные различные (кроме предельного случая ) и свободные составляющие всех величин в переходном процессе будут суммой двух экспонент с различными показателями. Значения тока и напряжений со временем не будут периодически изменять свой знак, поэтому такой переходный процесс называется апериодическим. Так как , то обе экспоненты будут со временем уменьшаться до нуля со скоростью, определяемой постоянной времени каждой из них . Таким образом, чем больше абсолютное значение , тем быстрее закончится переходный процесс. Для двух экспонент длительность процесса будет определяться меньшим абсолютным значением . При увеличении затухания  значения  расходятся, причем , а  и длительность переходного процесса становится бесконечной. Одновременно  и  достигают наибольших возможных абсолютных значений в предельном режиме, когда . Следовательно, этот режим будет соответствовать минимальной длительности переходного процесса в цепи.

 

При затухании  корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью. В этом случае свободная составляющая решения дифференциального уравнения также будет суммой двух экспонент, но эти экспоненты могут быть объединены и решение получено в виде

Эта функция представляет собой синусоиду с изменяющейся во времени амплитудой. В этом случае переходный процесс в цепи называется колебательным. Вещественная часть корней характеристического уравнения  определяет скорость изменения амплитуды, а мнимая , частоту колебаний. Следовательно, длительность переходного процесса будет зависеть только от . Так как показатель экспоненты , то со временем амплитуда колебаний свободной составляющей будет уменьшаться. Максимальное значение затухания соответствует граничному с апериодическим режиму, что подтверждает сделанный ранее вывод, о том, что в режиме  длительность переходного процесса минимальна.

Частота колебаний свободных составляющих тока и напряжений при изменении затухания также изменяется. При увеличении затухания она стремится к нулю, а при уменьшении к резонансной частоте цепи. При отсутствии затухания в цепи будет протекать переменный синусоидальный ток с частотой .

Рассмотрим теперь процесс подключения цепи рис. 1 к источнику постоянной ЭДС . Емкость  при этом может быть полностью разряжена или заряжена до напряжения  , которое с помощью коэффициента  можно представить через ЭДС источника в виде . При  ток в цепи после замыкания ключа будет протекать в направлении показанном сплошной стрелкой.

Установившееся значение тока в цепи будет равно нулю, а установившееся значение напряжения на емкости - ЭДС . В общем случае напряжение на емкости и ток при переходном процессе равны

                   (3)

Постоянные интегрирования  и  нужно определить из начальных значений тока и напряжения на емкости в момент коммутации, пользуясь тем, что

Отсюда . Подставляя эти значения в выражения (3), получим

       (4)

Если в выражения (4) подставить корни характеристического уравнения из выражения (1), то для апериодического процесса напряжение на емкости и ток в цепи будут

 (5)

На рис. 2 а приведены эти кривые при некотором начальном значении напряжения на емкости .

Выражения (4) получены без введения каких-либо ограничений на корни характеристического уравнения. Поэтому для нахождения решения при колебательном процессе () можно подставить корни из выражения (2), а затем преобразовать полученную сумму экспонент с комплексными показателями по формуле Эйлера. В результате мы получим выражения для напряжения на емкости и тока в цепи в виде

где .

На рис. 2 б приведены кривые колебательного переходного процесса при том же относительном начальном значении напряжения на емкости, что и при апериодическом процессе.

 

Как уже упоминалось выше, в последовательном соединении  резистивное сопротивление  полностью определяет характер переходного процесса. Рассмотрим влияние этого параметра на характер тока (рис. 3). Если изменять значение , сохраняя неизменными  и , т.е. сохраняя значение волнового сопротивления , то в апериодическом переходном процессе () по мере уменьшения  будет уменьшаться амплитуда тока и время переходного процесса. Минимальная длительность будет соответствовать предельному апериодическому режиму . После этого переходный процесс станет колебательным. Вначале в импульсе тока появится участок с отрицательным значением и при дальнейшем уменьшении  число колебаний будет возрастать, распространяясь на более длительный интервал времени. В пределе при нулевом затухании () в электрической цепи наступит режим незатухающих колебаний тока с резонансной частотой . При этом в цепи не будет потерь и не будет происходить преобразования энергии в тепло. Незатухающий процесс будет протекать в результате обмена энергией между электрическим и магнитным полем.