Перейдем к рассмотрению переходных процессов в цепи с последовательным
соединением резистора и емкости
. По второму закону Кирхгофа для этой цепи
Ток в емкости можно представить в виде . Отсюда
.
Решение этого дифференциального уравнения для напряжения на емкости также
можно представить суммой свободной и установившейся составляющих . Свободную составляющую найдем из решения однородного
уравнения (
) в виде
. Подставим это выражение в уравнение и найдем значение
Выражение представляет собой
характеристическое уравнение, которое могло быть получено без подстановки общего
выражения для свободной составляющей формальной заменой в однородном
дифференциальном уравнении производных от напряжения на емкости на
, где
- порядок
производной.
Отсюда общее решение для напряжения на емкости
(1)
где - постоянная
интегрирования, определяемая из начальных условий;
- постоянная времени переходного процесса.
Рассмотрим процесс подключения последовательной
цепи к источнику
постоянной ЭДС
(рис. 1 а).
В отличие от индуктивности, емкость после накопления заряда может длительное
время сохранять его. Поэтому начальное значение напряжения на емкости может быть
произвольным и иметь произвольный знак по отношению к ЭДС источника.
Установившееся значение напряжения на емкости после замыкания ключа
всегда будет равно
, т.к. на постоянном токе в установившемся режиме
и
, а
. Поэтому из выражения (1) напряжение на емкости в общем виде
будет равно
(2)
Пусть напряжение на емкости до коммутации было (знак + соответствует
полярности напряжения на рис. 1 а без скобок). Тогда из выражения (2) для
момента времени непосредственно после замыкания ключа найдем постоянную
,
а затем и выражение для напряжения на емкости в виде
(3)
где - постоянная времени переходного процесса.
Отсюда можно найти ток в цепи и падение напряжения на резисторе
На рис. 1 б-г приведены временные диаграммы переходного
процесса подключения цепи к источнику
постоянной ЭДС для трех вариантов начальных значений напряжения на емкости: 1)
; 2)
и 3)
Во всех случаях
напряжение на емкости монотонно по экспоненте изменяется от
до
. В то время как ток и напряжение на резисторе в момент
коммутации скачкообразно изменяются на величину пропорциональную разности или
сумме
и
, а затем монотонно уменьшаются до нуля. При этом если
, то ток и падение напряжения на R отрицательны, т.е.
происходит разряд емкости.
Полный
разряд емкости происходит при отсутствии внешних источников энергии (рис. 2 а).
После переключения ключа
вся энергия,
накопленная в электрическом поле емкости
, преобразуется в тепло в резисторе
.
Напряжение на емкости в переходном процессе будет иметь только свободную составляющую
и если цепь достаточно длительное время была подключена к источнику, то в
момент переключения напряжение на емкости будет равно . Поэтому постоянная интегрирования
будет равна
,
а напряжение на емкости в переходном процессе –
Отсюда ток в цепи и напряжение на резисторе
Из
этих выражений следует, что напряжение емкости после коммутации монотонно без
разрывов спадает до нуля по экспоненте с постоянной времени (рис. 2 б), в то
время как, ток в цепи и напряжение на сопротивлении в момент коммутации
скачкообразно изменяются, а затем также спадают до нуля. Отрицательное значение
тока и напряжения на сопротивлении означает, что их направление противоположно
направлению тока при заряде емкости.
Проверка решения по второму закону Кирхгофа дает очевидное тождество
.