Рассмотрим переходные процессы в цепи, содержащей последовательно соединенные резистор  и индуктивность . Уравнение Кирхгофа для такой цепи

,                     (1)

где  - ЭДС источника на входе цепи. Найдем решение этого уравнения для свободной составляющей тока, т.е. при , в виде . Тогда . Подставим выражения для тока и его производной в исходное уравнение и найдем значение

.

Выражение  представляет собой характеристическое уравнение, которое могло быть получено без подстановки общего выражения для свободной составляющей формальной заменой в однородном дифференциальном уравнении производных тока на , где  - порядок производной.

Таким образом, общее решение для тока при переходном процессе в  цепи можно представить в виде

                                  (2)

где  - постоянная времени переходного процесса;  - постоянная интегрирования, определяемая по начальным значениям;  - установившийся ток в цепи, определяемый по величине R и напряжению на входе .

Длительность переходного процесса в цепи зависит от постоянной времени свободной составляющей тока и возрастает с увеличением  и уменьшением . Это связано с тем, что индуктивность определяет количество энергии запасаемой в магнитном поле цепи, а сопротивление – количество энергии рассеиваемой в виде тепла. В свободном режиме, при отсутствии внешних воздействий на цепь в виде ЭДС источника, переходный процесс заканчивается когда вся энергия магнитного поля будет преобразована в тепло. Следовательно, чем больше ее запас и чем меньше коэффициент преобразования, тем дольше будет переходный процесс.

Рассмотрим подключение  цепи к источнику постоянной ЭДС  (рис. 1 а).

Установившийся ток в этой цепи будет определяться только ЭДС и резистивным сопротивлением , т.к. после окончания переходного процесса  и . Тогда из выражения (1) .

Полный ток в переходном процессе из выражения (2) равен

.

Для определения постоянной  найдем начальное значение тока. До замыкания ключа ток очевидно был нулевым, а т.к. подключаемая цепь содержит индуктивность, ток в которой не может измениться скачкообразно, то в первый момент после коммутации он останется нулевым. Отсюда

.

Подставляя найденное значение постоянной  в выражение для тока, получим

                                 (3)

Из этого выражения можно определить падения напряжения на резисторе  и индуктивности  в виде

           (4)

Из выражений (3)-(4) следует, что ток в цепи нарастает по экспоненте с постоянной времени  от нулевого до значения  (рис. 1 б). Падение напряжения на сопротивлении  повторяет кривую тока в измененном масштабе. Напряжение на индуктивности  в момент коммутации скачкообразно возрастает от нуля до , а затем снижается до нуля по экспоненте (рис. 1 б).

Подставляя выражения (4) в уравнение Кирхгофа для цепи после коммутации, можно убедиться в его справедливости в любой момент времени

.

Пусть рассмотренная выше  цепь длительное время была подключена к источнику ЭДС , а затем замкнута накоротко (рис. 2 а).

В этом случае установившийся ток  будет равен нулю и задача сводится к отысканию его свободной составляющей . Из выражения (1)

Постоянную  можно определить из начальных условий. Установившийся ток в цепи до переключения ключа  был равен , а т.к. в первый момент после коммутации ток в индуктивности сохраняет свое значение, то . Отсюда ток и падения напряжения в цепи

   (5)

Из выражений (5) следует, что при замыкании цепи накоротко ток уменьшается от  до нуля по экспоненте с постоянной времени  (рис. 2 б). Падение напряжения на резисторе изменяется по такому же закону, а напряжение на индуктивности в момент коммутации скачком изменяется от нуля до , а затем снижается до нуля (рис. 2б).

Общее падение напряжения на резисторе и индуктивности в любой момент времени

.

Как и следовало ожидать, в соответствии с законом Кирхгофа оно равно нулю в любой момент времени.

При отключении цепи содержащей индуктивность в ней могут возникать падения напряжений опасные для ее элементов. Пусть  цепь с подключенным к ней вольтметром отключается от источника постоянной ЭДС  (рис. 3).

Так как цепь содержит индуктивность, то после размыкания ключа  ток не сможет изменить своего значения и будет протекать в контуре . Значение тока до коммутации. Уравнение Кирхгофа для этого контура

где  - сопротивление вольтметра.

Отсюда падение напряжения на вольтметре  и на индуктивности .

Обычно , поэтому напряжение на вольтметре и на индуктивности в момент отключения превосходят ЭДС источника не менее, чем в  раз. Это может быть опасным для вольтметра и изоляции катушки. Если индуктивность цепи достаточно велика, то запасенной в ней энергии может оказаться достаточно для разрушения изоляции или входных цепей прибора. Поэтому при отключении цепи постоянного тока с большой индуктивностью ее предварительно замыкают на малое сопротивление, а измерительные приборы отключают.