Классическим методом анализа переходных процессов называют метод, в котором решение дифференциального уравнения находят как сумму принужденной и свободной составляющих. При этом принужденную составляющую находят как значение переменной после окончания переходного процесса, т.е. расчетом установившегося режима в цепи после коммутации, а свободную составляющую находят в виде суммы экспонент из уравнений Кирхгофа для цепи, в которой отсутствуют источники электрической энергии. Отсюда происходит название этой составляющей, как функции описывающей переходный процесс при отсутствии внешнего воздействия на электрическую цепь со стороны источников.

Поэтапный порядок расчета переходных процессов классическим методом можно представить следующим образом:

  1. Составление уравнений Кирхгофа для цепи после коммутации и определение установившихся значений (принужденных составляющих) токов в индуктивностях () и/или напряжений на емкостях () с учетом того, что в установившихся режимах в цепях постоянного тока падение напряжения на индуктивности и ток через емкость равны нулю.
  2. Составление и решение характеристического уравнения.
  3. Составление уравнений Кирхгофа для цепи до коммутации и определение начальных условий, т.е. значений токов в индуктивностях () и/или напряжений на емкостях () непосредственно перед коммутацией.
  4. Если характеристическое уравнение имеет порядок  и его корни () некратные, то потребуется определение также значений всех  производных после коммутации из системы уравнений Кирхгофа для свободных составляющих  и/или . Эта система уравнений получается из системы, составленной по п. 1, путем исключения из нее источников электрической энергии, т.е. в предположении, что ЭДС и токи источников равны нулю.
  5. Определение постоянных интегрирования  путем решения алгебраических уравнений вида

и/или

  1. Определение с помощью законов Кирхгофа всех искомых величин по полученным выражениям для токов в индуктивностях и/или напряжений на емкостях вида

 и/или

Примечание: если порядок характеристического уравнения очевиден из схемы цепи после коммутации, то последовательность выполнения п.п. 1-3 может быть произвольной.

 

Рассмотрим расчет переходных процессов в цепи первого порядка на примере электрической цепи, приведенной на рисунке а.

Пусть  В;  Ом;  Ом;  Ом;  мкФ.

Определить все токи и падения напряжения в цепи после замыкания ключа .

Ключ  подключен параллельно сопротивлению  и после коммутации зашунтирует его так, что их общее сопротивление будет равно нулю () и схема цепи примет вид, показанный на рис. б).

1. Установившееся значение  нужно определить из схемы цепи рис. б с учетом того, что после окончания переходного процесса напряжение на емкости перестанет изменяться  и ток  станет равным нулю . Тогда напряжение на емкости будет равным напряжению на

2. Чтобы определить показатель экспоненты  свободной составляющей напряжения на емкости  составим характеристическое уравнение. Для этого:

Тогда

Длительность переходного процесса в нашей цепи составляет

3. На этом этапе выражение для напряжения на емкости имеет вид  и нам осталось определить только постоянную интегрирования . Для этого рассмотрим состояние цепи до коммутации. До замыкания ключа  его сопротивление было равно бесконечности  и замыканию предшествовал установившийся режим с нулевым током через емкость . Поэтому напряжение на емкости было равно напряжению на последовательном соединении , т.е.

4. Определим постоянную интегрирования, пользуясь законом коммутации . Отсюда окончательно напряжение на емкости будет

 В.                                      (1)

Проверим полученное выражение на сходимость к начальному и установившемуся значениям. При  – ; при  –  . Таким образом, функция  сходится к значениям установившихся режимов до и после коммутации.

5. Для определения остальных величин для схемы рис. б составим уравнения пользуясь законами Ома и Кирхгофа:

                                                                             (2)

Из выражения (2 в) найдем ток через емкость

Отрицательное значение тока свидетельствует о том, что реальный ток имеет направление противоположное указанному на схеме.

Ток через сопротивление  найдем из выражения (2 г)

, а затем и общий ток в цепи

И, наконец, напряжение на внутреннем сопротивлении источника  будет равно

.

Следует обратить внимание на то, что все переходные функции являются экспонентами с одинаковыми постоянными времени. Это означает, что переходный процесс един для всей цепи.

Временные диаграммы токов и напряжений при переходном процессе изображены на рисунке.

При коммутации ток в емкости в сопротивлении  скачком изменяются на 1,25 А, а затем по экспонентам стремятся соответственно к нулю и значению 2 А. Общий ток  без разрывов по экспоненте возрастает от 1 до 2 А. Следует обратить внимание на то, что в любой момент времени до и после коммутации .

До коммутации напряжения на емкости, ,  и  были равны соответственно 90, 40, 50 и 10 В. Затем напряжение на  скачком изменилось до нуля, а на  – до 90 В и стало равным напряжению на емкости. После чего  стало по экспоненте уменьшаться до 80 В, а напряжение на  – увеличиваться с 10 до 20 В. Здесь до и после коммутации соблюдается закон Кирхгофа и в любой момент времени .

Через  все токи и напряжения в цепи достигнут 95% от своего установившегося значения и переходный процесс завершится.