Понятие двухполюсника является важнейшим понятием электротехники и вытекает непосредственно из понятия разности потенциалов электрического поля. Задание этой разности между двумя любыми точками пространства полностью определяет движение и распределение электрических зарядов между ними и связанные с этим электромагнитные процессы.

Применительно к электрическим цепям двухполюсник можно определить как совокупность элементов, имеющую только две точки для присоединения к электрической цепи. Любую сколь угодно сложную электрическую цепь можно разделить на двухполюсники. К двухполюсникам сводится также любое последовательное и параллельное соединение.

Если двухполюсник содержит внутри себя источники электрической энергии, то такой двухполюсник называется активным. В противном случае двухполюсник называется пассивным.

Рассмотрим подробнее представление и преобразование пассивных двухполюсников.

Взаимная связь между напряжением и током в электрической цепи называется законом Ома и для любого пассивного двухполюсника может быть представлена в символической форме в виде

.

Отсюда комплексное входное сопротивление , где модуль называется полным сопротивлением. Аргумент комплексного сопротивления  представляет собой разность фаз между напряжением и током двухполюсника, отсчитываемую от начальной фазы напряжения. Поэтому для ее определения не требуется расчет напряжения и тока. Достаточно вычислить аргумент комплексного сопротивления.

Вещественная часть комплексного сопротивления  соответствует эквивалентному резистивному сопротивлению двухполюсника , а мнимая – эквивалентному реактивному .

Величина обратная комплексному сопротивлению  называется комплексной проводимостью. Ее модуль является величиной обратной модулю комплексного сопротивления (полному сопротивлению)  и называется полной проводимостью. Аргумент комплексной проводимости всегда равен аргументу комплексного сопротивления, но имеет противоположный знак (рис. 2 а).

Вещественная составляющая комплексной проводимости называется резистивной проводимостью, а мнимая - реактивной проводимостью.

Между резистивными (R и G) и реактивными (X и B)составляющими комплексной проводимости и сопротивления существуют очевидные соответствия, вытекающие из понятия комплексного числа:

.

Тогда

.                               (1)

Отсюда следует:

Угол сдвига фаз между напряжением и током в электрической цепи определяется аргументом ее комплексного сопротивления . Поэтому при анализе цепи часто бывает достаточно определить характер изменения этого угла при вариации некоторого параметра.

Комплексное сопротивление любого участка электрической цепи в общем случае имеет вещественную и мнимую составляющие . Построим вектор  на комплексной плоскости и проанализируем его поведение при вариации составляющих  и .

Пусть t, а  (рис. 2 б). Тогда конец вектора  будет скользить по прямой . При  сопротивление  чисто вещественное, т.е. чисто резистивное и сдвиг фаз между током и напряжением  равен нулю. Если , то вектор  поворачивается в положительном направлении и его аргумент в пределе стремится к . Это означает, что пределом  является комплексное индуктивное сопротивление. При , пределом вектора  является бесконечно большое комплексное емкостное сопротивление.

Следовательно, изменение реактивного сопротивления в пределах  приводит к изменению угла сдвига фаз между током и напряжением в пределах .

Рассматривая аналогичным образом вариации резистивного сопротивления  при постоянном положительном (рис. 2 в) и отрицательном (рис. 2 г) реактивном сопротивлении , можно прийти к выводу, что в этом случае угол сдвига фаз между током и напряжением будет меняться соответственно в пределах  и .

Таким образом, предельными значениями фазового сдвига в двухполюснике будут углы ,  и . Крайние значения соответствуют комплексным емкостному и индуктивному сопротивлениям. Фазовый сдвиг в  возможен только при условии, что внутри двухполюсника отсутствуют резистивные сопротивления, т.е. отсутствуют тепловые потери. В нормальных условиях протекания электромагнитных процессов отсутствие потерь энергии невозможно, следовательно, невозможен и фазовый сдвиг между током и напряжением в . Однако в реальных устройствах, в особенности в конденсаторах, эти потери могут быть столь незначительными, что ими можно пренебречь и считать двухполюсник чисто реактивным.

Рассмотренные закономерности позволяют представить любой сколь угодно сложный пассивный двухполюсник эквивалентным набором не более чем двух элементов (резистора и реактивного элемента), который обеспечивает такую же связь между током и напряжением на входе, как исходный двухполюсник. Для этого достаточно знать модули тока и напряжения на входе и сдвиг фаз между ними. Все возможные варианты замещения двухполюсника приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Фазовый сдвиг  

Комплексное сопротивление двухполюсника

Область возможных значений

Схема замещения

Название двухполюсника

Индуктивный

Резистивно-индуктивный

0

Резистивный

Резистивно-емкостной

Емкостной

Во многих случаях характер двухполюсника можно определить по составу элементов электрической схемы. Отсутствие реактивных элементов в схеме всегда позволяет представить двухполюсник эквивалентным резистивным сопротивлением. Наличие резисторов и реактивных элементов одного из типов (только индуктивностей или только емкостей), также позволяет однозначно представить двухполюсник в виде совокупности резистора и соответствующего реактивного элемента, тип которого всегда соответствует типу реактивных элементов исходной схемы. Наличие в схеме двухполюсника реактивностей разных типов не позволяет определить тип двухполюсника без расчета значения , однако после расчета он также может быть заменен схемой замещения, соответствующей типу его эквивалентной реактивности.

В таблице 1 резистивно-индуктивный и резистивно-емкостной двухполюсники представлены двумя схемами - последовательной и параллельной. Они содержат реактивный элемент и резистор. Такому представлению соответствует учет потерь энергии в электромагнитных процессах, изображаемых на электрических схемах индуктивностью или емкостью.

По соображениям удобства решения конкретной задачи, резистор можно подключить последовательно или параллельно реактивному элементу (L или C). Тогда из выражений (1) можно определить соотношения между параметрами последовательной и параллельной схем замещения. Для  двухполюсника эти соотношения будут иметь вид

, а для  двухполюсника –

Из этих выражений следует, что параметры элементов эквивалентных схем при взаимных преобразованиях зависят не только от параметров элементов исходной схемы, но также всегда и от частоты.

 

Двум формам представления двухполюсников (рис. 1) можно поставить в соответствие два вида представлений входных напряжений и токов.

Проектируя вектор входного напряжения  на направление вектора входного тока  (рис. 3 а), получим вектор, модуль которого равен , где  - разность начальных фаз напряжения и тока на входе двухполюсника, причем, направление вектора  совпадает с направлением вектора тока, поэтому его запись в показательной форме будет иметь вид

,                                                           (1)

где  - начальная фаза тока на входе двухполюсника.

Перпендикуляр, опущенный из конца вектора  на направление вектора тока, имеет длину  и может рассматриваться как некоторый вектор , сумма которого с вектором  равна  (рис. 3 а). Его также можно записать в показательной форме в виде

                                                          (2)

Оператор поворота  в этом выражении учитывает перпендикулярное положение вектора  по отношению к  и условие

.                     (3)

Разделим выражение (3) на модуль вектора тока

         (4)

Выражение (4) соответствует представлению на комплексной плоскости вектора , равного комплексному сопротивлению двухполюсника и развернутого относительно вещественной оси на угол . При этом вектор  образует с вещественной осью комплексной плоскости угол , т.е. оказывается совпадающим по направлению с вектором .

Сравнивая вещественные и мнимые части выражений (3) и (4), можно представить модули составляющих вектора  в виде

Модуль составляющей  называется активной или резистивной составляющей напряжения на входе двухполюсника и представляет собой падение напряжения на резисторе комплексного входного сопротивления при токе . Аналогично, модуль вектора , называется реактивной составляющей входного напряжения и может быть представлен как падение напряжения на реактивной составляющей комплексного сопротивления.

Рассмотренным соотношениям величин соответствует представление двухполюсника последовательным соединением резистора R и реактивного сопротивления X, представленным на рис. 1 а.

Таким образом, вектор падения напряжения на входе двухполюсника может быть представлен двумя составляющими, одна из которых является его проекцией на направление вектора входного тока и называется активной (резистивной) составляющей или активным падением напряжения. Активная составляющая соответствует падению напряжения на резистивном сопротивлении последовательной эквивалентной схемы двухполюсника. Вторая составляющая перпендикулярна вектору тока и соответствует падению напряжения на реактивном сопротивлении последовательной эквивалентной схемы.

Прямоугольные треугольники  и  (рис. 1 а)) подобны и называются соответственно треугольниками напряжений и сопротивлений.

Спроектируем теперь вектор тока  на направление вектора падения напряжения  (рис. 3 б). Длина проекции будет равна , а длина проектирующего перпендикуляра - . Представим эти отрезки векторами с учетом того, что  совпадает с направлением вектора падения напряжения на входе двухполюсника, а в сумме эти два вектора должны быть равны . Тогда в показательной форме –

Множитель  является оператором поворота отрезка  на  в направлении отставания, чтобы обеспечивалось условие

.                          (5)

Представим теперь вектор тока через полученные составляющие

Разделим выражение (5) на модуль вектора  -

    (6)

Таким образом, из прямоугольного треугольника, составленного из векторов ,  и  и описанного выражением (5), путем деления на постоянную величину  всех его сторон мы получили подобный треугольник, описываемый выражением (9). Стороны нового треугольника имеют размерность проводимости и связаны с составляющими вектора тока законом Ома

.

Следовательно, активную и реактивную составляющую вектора тока можно представить, в виде токов, протекающих через активную (резистивную) проводимость  и реактивную проводимость  эквивалентной параллельной схемы двухполюсника (рис. 1 б).

Прямоугольные треугольники  и  (рис. 3 б) подобны и называются соответственно треугольниками токов и проводимостей. Очевидно, что треугольники токов и проводимостей подобны треугольникам напряжений и сопротивлений, т.к. имеют одинаковые углы.

Обобщая понятия составляющих векторов тока и напряжения на входе двухполюсника, можно сделать следующие выводы:

 

Для простейших двухполюсников понятия активных и реактивных составляющих напряжений и токов имеют физическую аналогию.

Например, при последовательном соединении резистора и индуктивности комплексные напряжения  образуют треугольник напряжений, подобный треугольнику сопротивлений . Поэтому общее падение напряжения на соединении будет геометрической суммой падений напряжения на резисторе и индуктивности . При этом напряжение на резисторе является активной составляющей общего напряжения , а напряжение на индуктивности – реактивной составляющей.

Подобие треугольников сопротивлений и напряжений позволяет определять элементы одного из них, зная величины или соотношения величин другого. Например, при известном соотношении активного и индуктивного сопротивлений 3/4 и общем напряжении 10 В, легко можно определить активную и реактивную составляющие напряжения как 6 В и 8 В.

Геометрическое сложение составляющих исключается при отсутствии одной из них. В этом случае сложение падений напряжения на элементах цепи производится алгебраически. Пусть, например, двухполюсник содержит индуктивность и емкость. Тогда активная составляющая напряжения будет равна нулю, а реактивная – суммой падений напряжения на  и . Но т.к. векторы напряжений на индуктивности и емкости направлены встречно по отношению друг к другу, что соответствует противоположным знакам их комплексных сопротивлений, то общее падение напряжения будет равно . Очевидно, что в случае последовательного соединения реактивных элементов одного типа (только индуктивностей или только емкостей) общее напряжение будет равно арифметической сумме напряжений. Аналогичная ситуация будет и при отсутствии реактивной составляющей, т.е., если цепь будет состоять только из резисторов. Тогда

Все сказанное выше относится и к составляющим тока. При параллельном соединении активного и реактивного элементов соответствующие составляющие тока будут равны токам в элементах цепи, т.е. , а общий ток – их геометрической сумме . Так же, как при последовательном соединении, треугольник токов будет подобен треугольнику проводимостей, что позволяет определять параметры одного из них по параметрам другого .

Определение общего тока путем алгебраического сложение токов в ветвях здесь также возможно только при отсутствии одной из составляющих – активной или реактивной, т.е. при отсутствии активных или реактивных элементов цепи.