Лекция 9

АНАЛИЗ ДЕМПФИРУЮЩЕГО ДЕЙСТВИЯ ЭМП НА КОЛЕБАТЕЛЬНОСТЬ ЭМС С ДВУХМАССОВОЙ МОДЕЛЬЮ МЕХАНИЗМА

При решении любых задач нужно уметь оценить влияние упругих связей на динамику ЭМС. Здесь мы проведем анализ особенностей вза-имодействия ЭМП с линейной механической характеристикой с меха-низмом, представленным двухмассовой моделью в единой ЭМС.

Возьмем за основу систему “ЭМП- механизм”, описываемую уравнениями

dM/dt = (b / Tэ) w 0- (b / Tэ)w 1 -(1/ Tэ)M,

dw 1/dt= - (1/ J1) M12 +(1/ J1) M -(1/ J1) Mc1 ,

dM12 /dt =C12 w 1 - C12 w 2,

dw 2/dt= (1/ J2) M12 - (1/ J2) Mc2.

Если пренебречь электромагнитной инерцией ЭМП, т.е. предположить, что Tэ =0 и рассматривать только свободное движение в системе (w 0=0) , то первое уравнение системы превращается в алгебраическое и из него следует, что

M=- b w 1 .

Следовательно, при отсутствии электромагнитной инерции ЭМП создает воздействующий на первую массу механизма момент, аналогичный моменту вязкого трения ( момент, пропорциональный скорости). Значит, благодаря наличию электромеханической связи ЭМП должен оказывать на колебания в механической подсистеме демпфирующее воздействие, аналогичное действию сил вязкого трения.

Оценим такое воздействие в системе с J2 >> J1 при w2 @ 0 , что равносильно жесткой заделке второй массы. Такая система может быть описана парой уравнений

dw 1/dt= - (1/ J1) M12 +(1/ J1) M -(1/ J1) Mc1 ,

dM12 /dt =C12 w 1 - C12 w 2 ,

с учетом принятых допущений принимающих вид

dw 1/dt= -(b / J1) w 1 - (1/ J1) M12 -(1/ J1) Mc1,

dM12 /dt =C12 w 1 - 0 w 2.

Матрица A, характеризующая свободное движение системы и характеристическое уравнение det ( l1 - A)=0 имеют вид соответственно

A=

и

.

Вводя понятие собственной резонансной частоты первой массы при жесткой заделке второй

,

перепишем характеристическое уравнение так

.

Следовательно, собственные числа системы определяются выражением

.

Анализируя последнее выражение, легко установить, что при жесткости b электромеханического преобразователя, отличной от нуля, свободное движение системы является принципиально затухающим. При условии

или b і 2 c12

свободное движение в системе носит апериодический характер, поскольку собственные числа являются вещественными. При условии

или b Ј 2 c12

собственные числа становятся комплексно-сопряженными и определяются выражением

l 1,2=-d ± jW св,

где W св=Ц Wм12- d 2, d = b /2 J1 и Wм1=Ц c12/J1.

Следовательно, свободная составляющая процесса носит колебательный затухающий характер с частотой свободных колебаний Wсв и экспоненциальной огибающей, обладающей постоянной времени 1/d = b /2J1 . Логарифмический декремент затухания определяется выражением

n = d Tсв= 2p d / Ц W м12- d 2

С ростом жесткости механической характеристики b ЭМП уменьшается время затухания, падает частота свободных колебаний. и возрастает логарифмический декремент затухания.

Зависимость n (b ) для рассматриваемого случая представлена кривой 1 на рис. 9.1. При увеличении b от 0 до некоторого значения bкр затухание колебаний постепенно увеличивается и при b=bкр переходный процесс в системе приобретает апериодический характер (n =Ґ ) . Это значение равно bкр = 2 c12

Рис. 9.1.

Таким образом, изменение жесткости механической характеристики ЭМП является эффективным средством изменения колебательности системы.

При конечных значениях J2 и g =(J1+J2)/J1 c ростом b в процесс колебаний вовлекается вторая масса, причем при b =Ґ (что соответствует жесткой заделке первой массы) колебания становятся незатухающими. Следовательно, если принять, что b ® Ґ , то в двухмассовой системе демпфирование должно уменьшаться и n ® 0 . Несомненно , что существует такое значение b = bмакс, при котором декремент затухания достигает максимума n (bмакс) = nмакс (см. кривую 2 на рис.9.1.) Величина последнего зависит от конкретного сочетания параметров электромеханической системы. При предельно слабой электромеханической связи (b = 0) и при предельно сильной связи (b = Ґ) демпфирование отсутствует (n = 0).

Электромагнитная инерция ЭМП, характеризуемая постоянной времени Tэ, также влияет на величину демпфирования, при этом и зависимость n ( Tэ ) не является однозначной. Изменение Tэ в определенных пределах позволяет увеличить n по сравнению с ранее рассмотренным случаем Tэ=0.