Лекция 4

СОСТАВЛЕНИЕ ДСС ПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

Схема системы в переменных состояния может быть составлена по передаточной функции тремя способами: методом прямого программирования, методом параллельного программирования и методом последовательно программирования.

Метод прямого программирования

Этот метод позволяет представить систему уравнений состояния в нормальной канонической форме по известной передаточной функции звена или системы с одним входом и одним выходом.

Известно, что системе с передаточной функцией

соответствует дифференциальное уравнение

или

N(p) x= M(p) u,

где Pi = di / dti

Рассмотрим вначале систему с передаточной функцией

, (4.1)

которой соответствует дифференциальное уравнение

(4.2)

Введем обозначения: y1= x1 и при i=1, 2, .... n-1. и запишем последнее уравнение в виде

Следовательно, система уравнений состояния, соответствующая передаточной функции (4.1) , м.б. записана в виде

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Записывая эту систему в векторно -матричной форме, получим

A= B= CТ =

Используя уже известные правила, построим ДCС по уравнениям состояния в виде рис. 4.1. :

Рис. 4.1.

Рассмотрим теперь систему с передаточной функцией

, (4.3)

которой соответствует дифференциальное уравнение

(4.4)

Подстановкой x1=x2/ b0 уравнение (4.4) сводится к (4.2) и следовательно ,

- уравнения состояния, соответствующие передаточным функциям (4.1) и (4.3) разнятся только масштабом выходной переменной и, следовательно, только элементами матрицы С. Для последнего случая

C=

- в ДСС появляется дополнительное масштабирующее звено с коэффициентом передачи b0 , со входом y1 и выходом x2 . Это звено выделено жирной штриховой линией на рис. 4.1.

Рассмотрим далее систему с передаточной функцией

(4.5)

Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение

(4.6)

Выходную величину Xi можно представить в операторной форме выражением

Переходя к функции времени, получим

Следовательно, ДСС данной системы с передаточной функцией (4.5) может быть получена из ДСС уже известной системы путем введения масштабирующего звена с коэффициентом передачи bi, входом yi+1 и выходом xi. В уравнениях состояния изменятся лишь элементы матрицы С. Последняя будет иметь вид

C=

Таким образом выходную величину исходной системы с передаточной функцией

можно представить в виде суммы в соответствии с числом слагаемых полинома числителя M(p), т.е.

Переходя к функции времени, получим

или с учетом ранее введенных обозначений

Следовательно, структурная схема исходной системы отличается от ранее полученных наличием полного набора масштабирующих звеньев ( всего их m+1 ) c коэффициентами передачи bi в цепи формирования выходной переменной x. (см. рис. 4.1.)

Матрицы А и В всех рассмотренных систем одинаковы. Их элементы формируются из коэффициентов полинома знаменателя передаточной функции.

Коэффициенты полинома числителя определяют только элементы матрицы С и влияют лишь на формирование выходной переменной. В последнем наиболее общем случае матрица С имеет вид

C=

Пример1: Составить ДСС и систему уравнений состояния для звена с передаточной функцией

Приведем передаточную функцию звена к стандартному виду

,

где a0=1/T2, b0=1/T2, b1=T1/T2

Стандартной передаточной функции соответствует стандартная ДСС:

Рис. 4.2.

и система уравнений состояния первого порядка

Рассмотрим еще пример:

Составить ДСС и уравнения состояния для системы, заданной передаточной функцией

Приводя запись передаточной функции в стандартную форму, получим: a2=7, a1=12, a0=0, b2=1, b1=3, b0=2.

ДСС изобразим в стандартном виде

Рис. 4.3.

Система уравнений состояния для этого случая в обычной форме

В матричной форме

A= B= CT= D=0

 

 

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

При указанном подходе передаточная функция исходной системы представляется в виде суммы передаточных функций однотипных звеньев следующим образом:

Здесь l i -корни полинома знаменателя передаточной функции, а a i - находятся по формуле

при p=l i

Такая передаточная функция соответствует параллельному соединению n однотипных звеньев со структурными схемами, представленными на рис. 4.4 .

Рис. 4.4.

Выходные сигналы xi звеньев суммируются .

Используя эту методику, составим ДСС для рассмотренной выше системы. Корни знаменателя равны : l 1 =0, l 2=-3, l 3 =-4.

Вычисляя коэффициенты числителей, получим a 1=1/6, a 2=-2/3, a 3=3/2. Тогда структурная схема системы примет вид (рис.4.5.)

Рис. 4.5.

Этой структурной схеме соответствует следующая система уравнений состояния

 

A= B= CT= D=0

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Для составления ДСС этим методом исходная передаточная функция представляется в виде произведения дробно-рациональных функций, порядок полиномов знаменателя и числителя которых не превышает единицы. Если порядки числителя и знаменателя исходной передаточной функции одинаковы, т.е. m=n, то последняя записывается в виде

где bk и lk - соответственно корни полинома числителя (нули) и корни полинома знаменателя (полюса). Если n>m (что практически всегда имеет место), то (n-m) сомножителей имеют в числителе единицу. Стандартная ДСС для элементарной дробно-рациональной функции общего вида нами была ранее, по существу, обоснована. Она изображается в виде

Рис. 4.6.

Поскольку произведение передаточных функций соответствует последовательному соединению звеньев, ДСС исходной системы будет содержать n последовательно соединенных ДСС идентичной конфигурации.

Передаточную функцию уже рассмотренной системы представим в виде произведения трех дробей

ДСС соответствует последовательному соединению ДСС элементарных звеньев и имеет следующий вид

 

Рис. 4.7.

Этой ДСС соответствует следующая система уравнений состояния

,

в матричной форме принимающая следующий вид

A= B= CT= D=0

Следует подчеркнуть, что для одной и той же системы можно составить несколько схем в переменных состояния, отличающихся природой промежуточных переменных, выбранных для описания системы. Различному выбору переменных состояния соответствуют различные матрицы системы, управления и наблюдения и различные векторные дифференциальные уравнения.