1. Резистивный элемент

Пусть напряжение на резистивном элементе с сопротивлением R (рис. 4.1а,б) синусоидально, т.е. u(t)= U_m Sin (w t+y _u) .



Поскольку мгновенные значения напряжения и тока для резистивного элемента связаны законом Ома, то i (t)= u(t)/ R= (U_m/ R) Sin (w t+y _u)

или i (t)= I_m Sin (w t+y i ), где I_m= U_m/ R и y i =y _u.

Следовательно,

а) при синусоидальном напряжении на резистивном элементе ток в нем также синусоидален;

б) синусоидальные напряжения и ток совпадают по фазе (j =y _u-y i =0) (рис.4.1,б);

в) амплитуда и действующее значение тока равны соответствующим значениям напряжения, деленным на R.

Мгновенная мощность в резистивном элементе определяется формулой

p(t)=u(t) i (t)=UI- UICos2w t=p₌+p_~

и иллюстрируется графиком на рис.4.1,б. Мощность пульсирует от нулевого значения до максимального, принимая только положительные значения. Это означает, что при любом направлении тока энергия поступает от источника в резистивный элемент и рассеивается в нем в виде тепла.

Средняя за период переменного тока (или активная) мощность равна

Р= p₌= UI=I²R=U²g, Вт.

Поскольку j =0, то реактивная мощность равна 0, т.е. Q = UISinj =0.

Полная мощность равна активной мощности, т.е. S=UI.

Находя отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока , получим выражение для комплексного сопротивления резистивного элемента в виде

Z_R=.

Следовательно:

а) комплексное сопротивление резистивного элемента содержит только активную составляющую ( реактивная составляющая равна нулю), т.е.

;

б) полное сопротивление резистивного элемента z=R;

в) аргумент комплексного сопротивления равен 0 (j =0) и потому векторы напряжения на резистивном элементе и тока в нем совпадают по направлению ( рис. 4.1,в ) .

Комплексная проводимость резистивного элемента есть величина обратная комплексному сопротивлению, т.е.

Y_R=1/ Z_R= (1/R)e^j0=1/R, Сим.

Следовательно:

а) комплексная проводимость резистивного элемента содержит только активную составляющую

;

б) полная проводимость резистивного элемента y=1/R;

в) аргумент комплексной проводимости равен 0 (j =0).

2. Индуктивный элемент

Пусть ток в индуктивном элементе с индуктивностью L (рис. 4.2а,б) синусоидален, т.е. i (t)= I_m Sin (w t+y i ).



Поскольку мгновенные значения напряжения на индуктивном элементе пропорционально скорости изменения тока, то

u(t)=L di /dt= I_mw L Cos (w t+y i )= I_mw L Sin (w t+y i +p /2)

или u(t)=U_mSin (w t+y _u), где U_m=I_mw L –амплитуда напряжения и y _u=y i +p /2- начальная фаза напряжения.

Следовательно:

а) при синусоидальном токе в индуктивном элементе напряжение на нем также синусоидально;

б) напряжение опережает по фазе ток на угол j =p /2 (рис.4.2,б);

в) амплитуда и действующее значение напряжения равны соответствующим значениям тока, умноженным на величину

x_L=w L,Ом,

называемую индуктивным сопротивлением.

Величина b_L, обратная индуктивному сопротивлению, называется индуктивной проводимостью

b_L =1/ x_L=1/ w L,Сим .

Как видно, при неизменной амплитуде напряжения на индуктивном элементе с ростом частоты пропорционально падает амплитуда тока. Фазовый сдвиг между напряжением и током при всех частотах остается неизменным и равным p /2.

Мгновенная мощность в индуктивном элементе определяется формулой

p(t)=u(t) i (t)=UISin2(w t+y_i )=p_~

и иллюстрируется графиком на рис.4.2,б. Мощность содержит только переменную синусоидальную составляющую, меняющуюся с удвоенной частотой . На интервалах периода, когда знаки напряжения и тока совпадают, энергия поступает в индуктивность от источника, запасаясь в магнитном поле катушки. На интервалах периода, когда знаки напряжения и тока различны, энергия запасенная в индуктивном элементе возвращается обратно источнику.

Средняя за период переменного тока (или активная) мощность для индуктивного элемента равна нулю, т.е. Р= UICos(p /2)=0.

Поскольку j =p /2, то реактивная мощность положительна и равна

Q = UISinj =UI.

Полная мощность равна по величине реактивной мощности, т.е. S=UI.

Находя отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока , получим выражение для комплексного сопротивления индуктивного элемента в виде

Z_L=, Ом

Следовательно

а) комплексное сопротивление индуктивного элемента содержит только реактивную составляющую ( активная составляющая равна нулю)., т.е. ;

б) полное сопротивление резистивного элемента z=x_L;

в) аргумент комплексного сопротивления равен p /2 (j =p /2) и потому вектор напряжения на индуктивном элементе опережает вектор тока в нем на p /2 ( рис. 4.2,в ) ;

Комплексная проводимость индуктивного элемента есть величина обратная комплексному сопротивлению, т.е.

Y_L=1/ Z_L= b_Le^-jp /2=-jb_L, См.

Следовательно:

а) комплексная проводимость индуктивного элемента содержит только реактивную составляющую

;

б) полная проводимость индуктивного элемента y=b_L;

в) аргумент комплексной проводимости равен -p /2 (j =p /2).

3. Емкостной элемент

Пусть напряжение на емкостном элементе с емкостью С (рис. 4.3а,б) синусоидально, т.е. u(t)= U_m Sin (w t+y _u).

i (t)=С du /dt= U_mw C Cos (w t+y _u)= U_mw C Sin (w t+y _u+p /2)

или i (t)= I_m Sin (w t+y i ), где I_m= U_mw С –амплитуда тока и y i =y _u +p /2)- начальная фаза тока.

б) ток опережает по фазе напряжение на угол p /2 (j = -p /2) (рис.4.3,б);

x_с=1/w С,Ом,

b_с =1/ x_c=w C,Сим

Как видно, при неизменной амплитуде напряжения на емкостном элементе с ростом частоты пропорционально растет амплитуда тока. Фазовый сдвиг между напряжением и током при всех частотах остается неизменным и равным -p /2.

p(t)=u(t) i (t)=UISin2(w t+y_u )=p_~

Р= UICos(-p /2)=0.

Поскольку j = -p /2, то реактивная мощность отрицательна и равна

Q = UISinj = -UI.

Z_с=, Ом

;

б) полное сопротивление емкостного элемента z=x_с;

в) аргумент комплексного сопротивления равен -p /2 (j =-p /2) и потому вектор напряжения на емкостном элементе отстает от вектора тока в нем на p /2 ( рис. 4.3,в ) .

Y_с=1/ Z_с= b_сe^jp /2=jb_с, Сим

;

б) полная проводимость индуктивного элемента y=b_с;

в) аргумент комплексной проводимости равен p /2 (j = -p /2).