1. Анализ переходных процессов в цепи первого порядка с емкостным элементом (схема рис.11.1,а)

При перебросе ключа К из положения 1 в положение 2 имеем

где

а при перебросе ключа К из положения 2 в положение 1

где :

Временные зависимости u_C(t) и ı(t), соответствующие процессам в рассматриваемой цепи, приведены соответственно на рис. 12.1,а, б.

a)

б)

рис. 12.1,а, б

Анализируя полученные зависимости, можно установить, что

а) при подключении RC-цепи к источнику напряжения и отключении ее от источника имеет место монотонный процесс изменения напряжения на емкости (заряда или разряда емкости);

б) в моменты коммутации (скачкообразного подключения или отключения источника) имеют место всплески (броски) тока в цепи емкости, величина которых зависит от суммарного сопротивления, включенного последовательно с емкостью. Следовательно, токи в ветвях с емкостями в переходном режиме во много раз могут превышать установившиеся значения;

в) время переходного процесса в RC-цепях первого порядка теоретически равно бесконечности. Практически принято считать переходный процесс закончившимся, если интересующая нас величина (напряжение или ток) достигнет 95% от своего нового установившегося значения. В этом случае время переходного процесса зависит от параметров R и C цепи, по которой происходит заряд или разряд емкости. Это время растет с ростом сопротивления R, поскольку последнее ограничивает величину зарядного или разрядного тока емкости. Увеличение емкости также приводит к росту времени переходного процесса, поскольку при неизменном напряжении на емкости с ростом емкости растет и энергия, которая в ней запасается;

г) практически время переходного процесса t_пер" 3t _С, где t _С=R·C - постоянная времени последовательной RC-цепи. Постоянная времени t _С численно равна времени, в течение которого свободная составляющая переходного процесса затухает в "е" раз. Постоянная времени графически может быть определена как длина подкасательной к кривой тока или напряжения в переходном режиме в любой момент времени. На рис. 12.1,а,б постоянные t _С и t _С^* определены подкасательной к кривой напряжения u_C(t) в момент коммутации (t=0).

Процессы изменения тока в индуктивности и напряжения на индуктивности при подключении ее через сопротивление R₂ к источнику напряжения протекает в соответствии с уравнениями

где

Для той же цепи) при перебросе ключа К из положения 2 в положение 1 уравнения, определяющие ток и напряжение на индуктивности, принимают вид

где

Графики полученных зависимостей приведены на рис. 12.2,а, б.

а)

б)

рис. 12.2,а, б

Анализ их показывает, что

а) при подключении индуктивности к источнику напряжения через сопротивление R₂ и замыкании ее на сопротивления R₁ и R₂ при отключенном источнике имеет место монотонный (экспоненциальный) процесс изменения тока через индуктивность;

б) в моменты коммутации имеет место всплески (броски) напряжения на индуктивности, что может привести к возникновению перенапряжений на зажимах отдельных ветвей в цепях с индуктивностью при коммутациях. Величина всплесков напряжения при отключении цепи от источника зависит как от тока ι(0_-) так и от сопротивления цепи, на которую замыкается индуктивность, (R₁+R₂);

в) практическое время переходного процесса зависит от постоянной времени t _L цепи, так что t_пер" 3·t _L. Время переходного процесса растет с ростом индуктивности L и падает с ростом сопротивленияR, включенного последовательно с индуктивностью.

3. Анализ переходных процессов в последовательной R-L-C-цепи

В результате анализа переходного процесса в последовательной RLC-цепи можно установить, что характер переходного процесса зависит от параметров элементов цепи и может быть либо апериодическим, либо колебательным.

В случае если δ>ω₀, переходной процесс носит апериодический характер, причем временные зависимости напряжения на емкости и тока в цепи определяется выражениями

Графики зависимостей представлены на рис.12.3,а.

рис.12.3,а

Время переходного процесса в цепи определяется временем, в течение которого затухает самая медленная из экспоненциальных составляющих в свободной составляющей процесса u_{с св}. Если предположить, что |p₁|<|p₂|, то в нашем случае медленнее затухает составляющая

,

где

.

Случай d =w ₀ соответствует предельному случаю апериодического процесса в рассматриваемой цепи и носит название "критического случая". Малейшее уменьшение сопротивления R или увеличение индуктивности L приводит к изменению характера свободной составляющей процесса (она становится колебательной). В "критическом случае" переходный процесс по характеру не отличается от рассмотренного выше и кривые напряжения на емкости и тока в цепи, определяемые соотношениями

аналогичны соответствующим кривым, представленным на рис. 12.3,а.

В случае если d <w ₀, корни характеристического уравнения цепи являются комплексно-сопряженными, кривые тока и напряжения на емкости определяются выражениями

Эти кривые представлены на рис. 12.3,б и показывают, что в данном случае подключение источника напряжения к последовательной RLC-цепи обуславливает появление затухающего колебательного переходного процесса с частотой свободных колебаний w _св и периодом Т_св = 2p /w _св .

рис. 12.3,б

В процессе колебаний имеет место периодическое преобразование энергии электрического поля, запасаемой в емкости, в энергию магнитного поля, запасаемой в индуктивности. Это преобразование сопровождается необратимыми потерями энергии в резистивном элементе R , поэтому колебания являются затухающими во времени. Чем больше величина сопротивления R, тем быстрее затухают колебания во времени. Огибающими кривой тока ι(t) служат экспоненциальные кривые

±

где

Величину часто называют постоянной времени колебательного контура, поскольку за время ордината огибающей уменьшается (изменяется) в "e" раз.

Чем меньше δ по сравнению с ω₀ (чем меньше сопротивление R), тем медленнее затухают колебания и тем ближе частота свободных колебаний ω_св к резонансной частоте контура, определяемой соотношением

В предельном случае при R=0 имеем δ=0, ω_св=ω₀. В этом случае в цепи будут иметь место незатухающие колебания с угловой частотой ω0, и говорят о контуре без потерь.

Относительное затухание колебаний характеризуется так называемым декрементом колебаний, представляющим отношение мгновенных значений тока через один период

Декремент (затухание) колебаний не зависит от времени, так как отношение амплитуд в любом месте кривой тока имеет одно и тоже значение.

Натуральный логарифм декремента (затухания) колебаний называется логарифмическим декрементом колебания

Все сказанное о частоте и затухании свободной составляющей тока относится также к свободным составляющим напряжений на емкости u_{с св} и на индуктивности u_{L св}.