Лекция 10

Цепями периодического несинусоидального тока называются цепи токи в ветвях которых или напряжения на ветвях которых носят несинусоидальный периодический характер. Причинами возникновения в электрических цепях несинусоидальных периодических токов являются

1.Несовершенство (неидеальность) источников синусоидальных напряжений и токов.

2. Наличие в ветвях эл. цепей генераторов напряжений и токов специальной формы ( прямоугольной, пилообразной, трапециедальной и т.п.)

3. Наличие нелинейных элементов в ветвях эл. цепей.

Из курса математики известно, что любую несинусоидальную периодическую функцию F(w t) удовлетворяющую условиям Дирихле, т.е. имеющую за полный период конечное число максимумов, минимумов и разрывов первого рода, можно представить в виде ряда Фурье

где К=1, 2, 3….или представить в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих с частотами целыми и кратными основной частоте w . При этом все амплитудные коэффициенты ряда определяются формулами Эйлера -Фурье

; ;.

Для основных типов периодических функций, имеющих прямоугольную, треугольную, трапециевидную и др. формы, выражения для коэффициентов ряда Фурье приводятся в справочниках. Примеры разложений несинусоидальных периодических сигналов типовых форм приведены на рис.10.1.

Рис. 10.1

В тех случаях, когда представить аналитически несинусоидальную функцию не представляется возможным или она задана в виде графика (или осциллограммы), амплитудные коэффициенты ряда можно получить графо-аналитически.

Этот метод основан на замене определенного интеграла суммой конечного числа слагаемых. Для этого период функции f(w t)=f(x) разбивается на n равных отрезков D X=2p /n, как показано на рис.10.2. и находятся значения функции f(x) в середине каждого интервала.

После этого вычисляют коэффициенты ряда по формулам

; ; ,

где f_p(x), Cos_pkx , Sin_pkx -значение функции f(x), Cos kx и Sin kx в середине р-го интервала или

f_p(x)= f(x)Ѕ x=(p-0.5)D x, Cos_pkx= CoskxЅ x=(p-0.5)D x, Sin_pkx= SinkxЅ x=(p-0.5)D x.

После тривиальных преобразований ряд (10.1) можно переписать в виде

где , .

Таким образом после разложения аналитического или графо-аналитического периодические несинусоидальные ток и напряжение можно представить в виде

i= I₀ + I_1msin(w t +yi ₁) + I_2msin(2w t +yi ₂) +ј + I_rmsin(kw t +yi _k))+ј , (10.3)

u= U₀ + U_1msin(w t +y_u1) + U_2msin(2w t +y_u2) +ј + U_kmsin(kw t +y_uk))+ ..10.4)

Первыe члены рядов (10.3) и (10.4) (I_0, U₀) называются постоянными составляющими или нулевыми гармоникми. Вторые члены I_1msin(w t +yi ₁) и U_1msin(w t +y_u1) имеют частоту равную частоте несинусоидальной периодической функции f(wt) и называются первыми или основными гармоническими составляющими (коротко - гармониками). Остальные члены ряда вида A_ksin(kwt+y _k) имеют частоты в целое число раз k больше частоты основной гармоники и называются высшими гармоническим составляющими или гармониками. Каждая высшая гармоника в отдельности именуется по номеру k , т.е. вторая гармоника, третья гармоника и т.д.

Выражение (10.3) и (10.4) характеризуют мгновенные значения несинусоидальных тока и напряжения.

При несинусоидальных периодических токах и ЭДС в электрической цепи возможно ввести понятия действующих значений аналогично тому, как это было сделано для синусоидальных величин.

Действующее значение тока I определяется через мгновенные значения как

Если представить периодический несинусоидальный ток в виде (10. 3 ) и подставить в (10.5), то после интегрирования получим

Следовательно, действующее значение несинусоидального периодического тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник.

Проведя аналогичные выкладки, можно получить выражения для действующих значений ЭДС и падения напряжения в виде

,

.

Средние за период значения несинусоидальных напряжений и токов определяются интегралом за период от соответствующего мгновенного значения и если последние представлены в виде соответственно ( 10. 3 ) и (10.4 ), то

.

Как видно, средние за период значения несинусоидальных периодических величин равны их постоянным составляющим.

Средние по модулю или средние за положительный полупериод значения несинусоидальных напряжений и токов определяются интегралом за период от соответствующего мгновенного значения и если последние представлены в виде соответственно (10. 3 ) и (10.4 ), то

.

Как уже упоминалось выше, реальные источники электрической энергии в силу конструктивных особенностей формируют ЭДС и токи, отличающиеся от синусоидальных. Чаще всего эти величины симметричны, т.к. симметрична конструкция электромеханических генераторов, и не содержат четных гармоник.

Для оценки формы симметричных кривых используют коэффициенты формы k_f , амплитуды k_A и искажений k_d.

Под коэффициентом формы k_ф понимают отношение действующего значения к среднему значению, взятому за положительную полуволну, т.е.

K_ф = U/U_{ср мод.}

Для синусоидальных величин k_ф » 1.11.

Под коэффициентом амплитуды k_A понимают отношение амплитудного значения несинусоидальной величины к действующему, т.е.

k_A = U_m/U

(для синусоиды это значение равно 1.414)

Коэффициент искажений k_и это отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению несинусоидальной кривой, т.е.

k_и = U₁/U.

Поскольку идеальных синусоидальных величин практически не бывает, то в технике существует понятие практически синусоидальных кривых. Форма кривой считается практически синусоидальной, если все ее ординаты отличаются от ординат первой гармоники не более, чем на 5%. При этом количество контрольных точек должно быть не менее 12.

Определим теперь среднюю мощность P в цепи при несинусоидальных токах и напряжениях. Она всегда может быть выражена в виде

Подставляя в это выражение напряжение и ток, представленные выражениями (10. 3 ) и ( 10. 4 ), получим

где j _k=y_uk-yi _k-фазовый сдвиг между к-ми гармониками напряжения и тока.

Из выражения (10.7) следует, что средняя или активная мощность в цепи с несинусоидальными токами и напряжениями равна сумме средних или активных мощностей отдельных гармоник.

По аналогии с цепями синусоидального тока можно ввести понятие полной или кажущейся мощности как произведение действующих значений тока и напряжения S = UI, тогда отношению P/(UI) можно придать смысл коэффициента мощности cosj_э.

Выражение нормально справедливо для некоторой электрической цепи синусоидального тока, в которой протекает ток с действующим значением I и существует падение напряжения U. При этом в цепи выделяется активная мощность P. Следовательно, при изучении некоторых явлений несинусоидальные токи и напряжения, не содержащие постоянных составляющих, можно заменить эквивалентными им по действующему значению синусоидальными со сдвигом фаз между ними j_э, соответствующим коэффициенту мощности несинусоидальных величин.

Для цепи несинусоидального тока реактивную мощность определить формально по аналогии с активной мощностью в виде

Q = U₁I₁sinj ₁ + U₂I₂sinj ₂ +ј + U_kI_ksinj _k + FACE="Symbol" SIZE=4>ј

Без доказательства отметим, что в цепях несинусоидального тока не существует связи между активной, реактивной и полной мощностью в виде треугольника мощностей, т.е..

Если все элементы электрической цепи с несинусоидальными токами и напряжениями линейны, т.е. параметры элементов не зависят от токов и падений напряжения, то анализ электромагнитных процессов в них можно проводить, используя разложение в ряды Фурье.

Расчет цепи при несинусоидальных токах проводится аналогично расчету при синусоидальных, но он должен выполняться отдельно для каждой гармоники, т.е. алгоритм расчета следующий:

-представить действующую в цепи ЭДС или ток рядом Фурье

-любыми методами расчета цепей синусоидального тока произвести расчет отдельно для каждой гармоники спектра;

-по полученному спектру искомых величин найти требуемые значения.

Пусть требуется найти активную мощность в цепи на рис.10.3 , где приложенное напряжение равно u(t)=10+20sin(1000t- 30° )+5sin(3000t+45° ) В, а параметры элементов R = 20 Ом, C = 50 мкФ и L = 5 мГн.

Спектр приложенного напряжения содержит постоянную составляющую или нулевую гармонику, а также первую и третью гармоники.

Реактивные сопротивления цепи зависят от частоты. Для k-й гармоники их можно представить через сопротивления на частоте основной гармоники в виде

X_Lk=kw ₁L=kX_L1; X_Ck=1/kw ₁C=X_c1/k;

где x_L1 = w ₁L= 5 Ом и x_C1 = 1/(w ₁C) = 20 Ом - индуктивное и емкостное сопротивления на частоте основной гармоники. При расчете реактивных сопротивлений можно формально считать постоянную составляющую нулевой гармоникой. При этом x_L0 = 0, а x_C0 = µ , что соответствует отсутствию этих элементов и вполне согласуется с теорией цепей постоянного тока, где в статических режимах реактивных элементов нет.

Общее комплексное сопротивление цепи на частоте k-й гармоники будет

Подставляя в это выражение значения k = 0, 1, 3, получим значения общих комплексных сопротивлений на всех гармониках в виде Z₀ = 20 Ом ; Z₁ = 10- j5 Ом ; Z₃ = 2+j9 Ом . Из этих выражений видно, что комплексные сопротивления на разных частотах могут иметь реактивную составляющую разного знака. Отсюда комплексные значения токов - I₀ = U₀/Z₀ = 10/20 = 0.5 А;

m₁ = m₁/Z₁ = 20e- ^j30° /(10- j5) = 1.78e- ^j3.4° А; m₃ = Um₃/Z₃ = 5e ^j45° /(2+j9) = 0.54e- ^j32.4° А.

Полученные комплексные значения составляющих спектра токов можно представить рядом Фурье в виде

i = 0.5+1.78sin(1000t- 3.4° )+0.54sin(1000t- 32.4° ) А.

Теперь можно определить активную мощность в цепи как

P=U₀I₀+ U₁I₁Cos j ₁+ U₃I₃Cos j ₃=

10ґ 0.5+ (20ґ 1.78/2) ґ Cos[-30^o –(-3.4^o)]+ (5ґ 0.54/2) ґ Cos[45^o –(-32.4^o)]=22.2 Вт