3.5 Расчёт переходных процессов операторным методом

Операторный метод расчета переходных процессов основывается на использовании линейного интегрального преобразования Лапласа

(3.32)

где в качестве параметра участвует комплексная переменная p=s+jω. Применение этого преобразования сводит функцию времени к зависимости от этого параметра. Большинство исследуемых в электротехнике функций времени имеют в качестве изображения по Лапласу дробно-рациональную функцию, которую называют операторным изображением (см.Таблицу 4), а саму функцию времени - оригиналом. Из приведенных в таблице примеров следует вышеприведенное утверждение, что использование преобразования Лапласа неизбежно сводит любую временную функцию к дробно-рациональной функции вида полином, деленный на полином от переменной p.

Таблица операторных изображений.

Таблица 4

Оригинал f(t)	Изображение F(t)
	1/p
	A/p
	1
e^-at
(1-e^-at)
te^-at
f(t)	F(p)
	pF(p)-f(0)

Однотипность получаемых изображений говорит о том, что это преобразование настолько "сильное", что при его использовании любые интегральные и дифференциальные временные соотношения сводятся также к алгебраическим выражениям. Следовательно, применив это преобразование к системе интегро-дифференциальных уравнений, получим систему алгебраических уравнений, зависимых от комплексной переменной p. Этот прием уже был использован ранее при анализе цепей синусоидального тока, где была показана возможность перехода посредством мнимой комплексной переменной jω к комплексным амплитудам токов и напряжений с последующим формальным анализом как бы цепи постоянного тока [1]. Операторный метод является развитием метода комплексных амплитуд, в обоих методах исходные, т.е. временные выражения, заменяют более простыми алгебраическими, которые в данном случае называют операторными.

Так же как и в методе комплексных амплитуд, постоянные параметры цепи - r, L, C переходят из оригинала в изображение и обратно без каких-либо изменений в качестве коэффициентов. В комплексном методе производная d/dt заменяется произведением jω, а в операторном - множителем p; соответственно интеграл во временной области заменяется в комплексном методе на 1/jω, а в операторном - на 1/p. Вместо комплексных амплитуд напряжения или тока записывают операторные выражения U(p), I(p). Имеет место только разница в записи постоянных источников напряжения и тока: E=const, J=const ;их операторные изображения принимают вид: E(p) = E/p; J(p) = J/p (см. табл.4, п.2).

Применяя преобразование Лапласа к компонентным соотношениям (3.5), связывающим токи и напряжения в каждом элементе цепи, можно установить правило перехода от реальной цепи к операторной. Это правило приведено в таблице 5.

Таблица 5

Исходная электрическая цепь	Операторная расчетная цепь
i(t), u(t), e(t), J(t)	I(p), U(p), E(p), J(p)

Из таблицы следует, что резистивный элемент r преобразуется в операторный образ без изменения, и закон Ома в операторной форме имеет тот же вид, что и для переменной t: U(p) = rI(p). Индуктивность L заменяется операторным сопротивлением Z_L = pL и источником напряжения Li_L(0), направление действия которого совпадает с направлением тока в индуктивности к моменту коммутации. Емкость С заменяется операторным сопротивлением Z_C = 1/pC и источником напряжения u_C(0)/p; направление действия источника противоположно напряжению на емкости к моменту коммутации, т.е. направлено в сторону разряда емкости на внешнюю цепь. Независимые источники энергии заменяются на операторные образы, для чего могут быть использованы изображения функций, указанные в таблице 4. Можно эти изображения найти непосредственно путем использования прямого преобразования Лапласа (3.32). Пользуясь этой таблицей соответствия, легко построить операторную расчетную цепь, которая в дальнейшем рассчитывается как цепь постоянного тока. Из рассмотренного следует, что расчет переходного процесса операторным методом целесообразно начинать сразу с операторной схемы замещения, минуя этап составления системы интегро-дифференциальных уравнений.

Операторная расчетная схема замещения позволяет найти изображения токов и напряжений всех ветвей. Для расчета могут быть применены все известные методы расчета цепей постоянного тока: законы Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод наложения, простейшие преобразования и т.д. Компонентные уравнения цепи, связывающие ток и напряжение в каждом элементе или ветви, записываются в операторных образах аналогично цепям постоянного тока [1].Все найденные операторные изображения токов и напряжений имеют однотипный характер в виде дробно-рациональной функции, где полином числителя по степеням p делится на полином знаменателя.

(3.33)

В большинстве случаев выполняется условие n>m, т.е. степень числителя меньше степени знаменателя и дробь правильная. Если же степени равны, то нужно путем деления полиномов выделить целую часть, и от этой части обратное преобразование Лапласа приводит к появлению в решении дельта-функции (см. табл.4,п.3). Та часть решения, которая определяется правильной дробью, позволяет найти оригинал путем применения Теоремы разложения, основанной на возможности представления дробно-рациональной функции в виде суммы простейших дробей. Формула обратного преобразования имеет вид

f(t)=u(t)

(3.34)

где p_k - корни знаменателя, которые находятся из уравнения F₂(p) = 0. Будем рассматривать случай разных вещественных отрицательных корней;

производная от знаменателя по переменной p; F₁(p_k) - полином числителя, где вместо p подставлен корень p_k.

Часто бывает так, что в полиноме F₂(p) слагаемое b₀ = 0. Тогда множитель p можно вынести за скобку, и знаменатель принимает вид F₂ = pF₃. В этом случае при наличии n корней первый корень уравнения pF₃(p) = 0 будет нулевым: p₁ = 0. Для этого частного случая Теорема разложения принимает вид

f(t)=u(t)

(3.35)

т.е. в решении появляется слагаемое, которое не зависит от времени. Это слагаемое соответствует принужденной составляющей искомого тока или напряжения.

Пример 3.8. Для цепи второго порядка (рис.3.16а), рассмотренной в примере 3.4, найти операторным методом ток и напряжение на емкости после размыкания ключа S. Параметры цепи: E =40 B; r =40 Ом; L = 1 Гн; C = 1/300 Ф.

Решение задачи начинаем с изображения операторной цепи, которая соответствует послекоммутационному состоянию цепи (рис.3.27). Начальные условия для внутренних источников энергии находятся для момента времени t = 0- так же, как это было сделано при решении задачи классическим методом: i_L (0-) = E/r = 1 A; u_C(0-) = E = 40 B. В операторной одноконтурной цепи протекает операторный ток I(p) под действием операторных источников напряжения.

Рис. 3.27. Операторная расчетная цепь

Формально рассматривая эту цепь как цепь постоянного тока, найдем

После подстановки численных значений параметров получим

Приравнивая нулю знаменатель, найдем корни

1/с

1/с

Следует заметить, что знаменатель совпадает с характеристическим полиномом для исследуемой цепи. Именно такое уравнение исследовалось в классическом методе при решении Примера 3.4. Далее найдем производную знаменателя

Применим Теорему разложения и найдем оригинал тока как функцию времени

Полученный ответ полностью совпадает с выражением, полученным ранее.

Операторное напряжение на емкости следует определять как сумму

напряжений непосредственно на сопротивлении Z = 1/pC и на внутреннем

источнике напряжения u_C(0-)/p. Для этого можно воспользоваться обобщенной формой закона Ома:

u_C(p) = Z_CI(p) - u_C(0)/p = I(p)/pC - u_C(0)/p

После подстановки числовых данных и приведения подобных получим

Используя те же корни знаменателя, найдем оригинал

Результат с точностью до знака совпадает с ранее полученным выражением. Различие в знаках объясняется другим выбором условного положительного направления напряжения на емкости по сравнению с примером 3.4

Задача решена.

Теорема разложения может быть использована и в случае комплексно-сопряженных корней p₁ = - β + jω_C и p₂ = - β - jω_C. Рассмотрим этот случай на примере только что решенной задачи с измененным емкостным параметром С = 0.0005 Ф. Аналогично рассмотренному ранее найдем операторный ток

(3.36)

Приравнивая знаменатель к нулю F₂(p) = p² + 40p + 2000 = 0, найдем корни p₁ = -20 + j40 и p₂ = -20 - j40, после чего выполним формальную подстановку корней в выражение (3.34):

(A)

Полученное выражение для тока совпадает с выражением (3.28) не только по форме, но и численно. Особенность математических преобразований заключается в том, что при суммировании двух комплексно-сопряженных выражений вещественные части суммируются, а мнимые взаимно сокращаются. Поэтому для пары комплексно-сопряженных корней результирующее выражение может быть найдено по формуле

f(t)=u(t)

(3.37)

т.е. путем умножения на два вещественной части выражения, которое получается после подстановки в формулу (3.34) любого из комплексно-сопряженных корней. Для рассматриваемого примера и выражения (3.36) применение формулы (3.37) после подстановки первого корня p₁ = -20 +j40 даст тот же результат:

(A)

Ответ будет тем же, если вместо первого корня подставим второй корень p₂ = -20 - j40.

Задача решена.

Пример 3.9. В цепи рис.3.28 исследовать переходный процесс после размыкания ключа S. Найти зависимости i₁(t) и u_C(t). Параметры цепи: E=100 B; J = 1 A; r₁ = r₂ = 10 Ом; L = 0,1 Гн; C = 1000 мкФ.

Рис. 3.28. Схема RLC-цепи с двумя независимыми источниками питания.

Решение задачи начинаем с определения основных начальных условий. До коммутации в индуктивности протекал ток i_L(0-) = E/r₁ = 10 A, который замыкался через ключ S и короткозамкнутую перемычку. Напряжение на емкости равнялось нулю u_C(0-) = 0, так как емкость была подсоединена параллельно короткозамкнутой перемычке. После размыкания ключа к цепи подсоединяется источник тока J, и в цепи развивается переходный процесс с участием индуктивности и емкости.

а) б)

Рис. 3.29. Операторная схема замещения цепи.

а)Исходная цепь. б)Преобразованная цепь.

Операторная схема цепи представлена на рис.3.29а. Следует обратить

внимание на то, что в данном примере не требуется показывать внутренний источник энергии для емкости, т.к. начальные условия на емкости нулевые. Остальные операторные сопротивления равны

Z₁ = pL + r₁ = 0,1p + 10; Z₂ = r₂ = 10; Z_C = 1/pC = 1000/p

Операторная схема цепи формально соответствует разветвленной цепи

постоянного тока, где сопротивления Z₂ и Z_C соединены параллельно, и их

можно объединить:

В преобразованной цепи рис.3.29б неизвестны токи I₁ и I_Э = I₂ + I_С . Определим их, составив два уравнения по законам Кирхгофа

Найдем из системы ток I₁:

После подстановки в выражение для тока численных значений параметров найдем

Знаменатель F = pF(p) имеет один нулевой корень p₁ = 0 и два комплексно-сопряженных корня p₂ = -100 + j100 и p₃ = -100 - j100. При наличии нулевого корня целесообразно воспользоваться Теоремой разложения в форме (3.35), а с учетом характера корней окончательно записать форму обратного преобразования в виде (3.37):

где = dF₃/dp = 0,002p + 0,2. После формальной подстановки численных значений найдем оригинал тока

(A)

Характер переходного процесса определяется суммой установившегося значения 4,5 A и затухающей синусоиды. Ток начинает свое изменение со значения 10 A и, постепенно колеблясь и затухая, достигает уровня 4,5 A.

Напряжение на емкости в операторной форме найдем по закону Ома

Выполнив все алгебраические преобразования, после подстановки численных значений и применения Теоремы разложения получим

(В)

Переходный процесс для емкости начинается с нулевого значения, а затем принимает колебательно-затухающий характер и стремится к уровню 55 B. Тот же результат можно найти путем решения обратной задачи с использованием найденной временной функции i₁(t). Для этого следует составить уравнение равновесия для контура, включающего ветви с емкостью и известным током i₁:

или

Задача решена.

Изучение материала третьего раздела пособия рекомендуется завершить решением задач Приложения 3. Вариант выбирается самостоятельно или указывается преподавателем.

к содержанию