1.3. Резонансные
режимы двухполюсников с потерями
Двухполюсник, включающий полный набор
элементов r, L и C, при питании от
источника синусоидального тока будет частично потреблять энергию источника в
резистивных элементах цепи (активная мощность P>0), а частично участвовать в обмене энергией с источником,
периодически запасая ее в реактивных элементах в виде энергии электрического и
магнитного поля. Реактивная мощность Q,
характеризующая процесс обмена реактивной энергией, в общем случае определяется
разностью суммарных реактивных мощностей, запасенных в индуктивностях, и
суммарных реактивных мощностей, запасенных в емкостях:
|
|
(1.6) |
Знак минус в выражении (1.6) означает, что
реактивные элементы разных типов обмениваются энергией не только с источником,
но и между собой; при этом энергия электрического поля переходит в энергию
магнитного поля и наоборот.
На некоторых частотах, которые называются
резонансными, суммарная энергия, запасенная в индуктивных элементах
, полностью компенсируется энергией, запасенной в емкостных
элементах
. Тогда суммарная реактивная мощность становится равной нулю
(Q = 0), и это условие можно считать одним
из определений резонансного состояния цепи. На основе этого вывода следуют ряд
положений, каждое из которых можно также считать определением или признаком
резонанса:
1. Полная мощность S = P + jQ, потребляемая двухполюсником, целиком определяется
активной мощностью P:
|
S = P |
Q
= 0 |
(1.7) |
2. Коэффициент мощности становится равным
единице, а сам аргумент нулю: cosφ = P/S = 1,
φ = 0;
3. Этот же аргумент φ определяет угол сдвига фаз между током и
напряжением. Следовательно, на резонансной частоте ток и напряжение на входных
зажимах двухполюсника совпадают по фазе:
;
4. Угол сдвига фаз
φ совпадает по величине с аргументом функции входного сопротивления 
, который вычисляется по формуле
|
φ = arctg (X/R) |
Если
φ = 0, а R не равняется нулю и
имеет конечное значение, то мнимая часть функции входного сопротивления должна
обращаться в ноль:
|
X = Jm(Z) = 0 |
(1.8) |
Этим выражением пользуются для
определения точек резонанса напряжений, т.е. нулевых резонансных частот.
5. Аналогичные рассуждения можно привести
и для функции входной проводимости двухполюсника, которая определяется как величина,
обратная входному сопротивлению (см. (1.2)):
|
|
|
Если φ = 0, а G не равняется нулю и имеет конечное значение, то
мнимая часть функции
входной проводимости должна обращаться в ноль:
|
B = Jm(Y) = 0 |
(1.9) |
Этим выражением пользуются для
определения точек резонанса токов, т.е. полюсных резонансных частот.
В двухполюсниках с потерями число
резонансных частот зависит не только от общего числа реактивных элементов цепи,
но и от численных значений параметров r,
L и C. Это положение приводит к необходимости дополнительного
исследования тех выражений резонансных частот, которые определяются в
результате использования условий (1.8) и (1.9). Кроме того, перед решением
задачи необходимо установить какие резонансные режимы могут иметь место в
рассматриваемой цепи. Для этого рекомендуется рассмотреть две предельные
задачи: первая из них получается из исходной цепи путем замены всех резистивных
элементов на ноль (r = 0), вторая
задача предполагает замену всех резистивных элементов на бесконечность (r =
∞), что означает разрыв ветвей, содержащих резистивные элементы. Обе
предельные задачи преобразуют исходную цепь к чисто реактивной, для которой
легко просматриваются возможные резонансные режимы (см. выше раздел 1.2).
Пример 1.4.
Исследовать резонансные режимы для цепи, изображенной на рис.1.8а.
Анализ цепи начинаем с двух предельных
схем замещения рис.1.9а,б, которые будут иметь место, если r = ∞ (режим холостого хода х.х.) и r = 0 (режим короткого замыкания к.з.).
а) б)
Рис. 1.8. Схема
двухполюсника с потерями:
а)исходная схема;
б)комплексная схема
В схеме рис.1.9a реактивные элементы L и C
соединены последовательно, и в этой цепи возможен резонанс напряжений. В цепи
рис.1.9б элемент С замкнут накоротко,
и входное сопротивление двухполюсника определяется только индуктивностью L; следовательно в такой цепи резонанса
быть не может.
а)
б)
Рис.
1.9. Предельные схемы замещения двухполюсника: а)r→∞;б) r→0
Итак, возвращаясь к исходной цепи
рис.1.8а, делаем вывод о возможном резонансе напряжений в заданной цепи при
определенном соотношении параметров r,
L и C.
Переходим к анализу комплексной схемы
замещения исходной цепи рис.1.8б, где 
; 
; 
. Находим входное сопротивление и приводим его к
алгебраической форме записи, освобождаясь от мнимости в знаменателе путем умножения
числителя и знаменателя второго слагаемого на комплексно-сопряженное выражение.
Произведенные действия позволяют выделить в общем виде мнимую часть входного
сопротивления
|
|
|
|
Используя условие резонанса напряжений
(1.8), приравниваем мнимую часть полученного выражения к нулю
|
|
Достаточно приравнять к нулю числитель и
решить полученное уравнение относительно частоты ω.
Решение включает два корня: 
и 
.
Первый корень характеризует поведение
цепи на постоянном токе, когда не происходит обмена реактивной мощности между
индуктивностью L и емкостью C, а вся энергия источника тратится в
резистивном элементе r: 
. Выражение для второго корня 
можно преобразовать к
виду, близкому к известной формуле Томсона, если вынести за знак квадратного
корня выражение
:
|
|
(1.10) |
где в конечное
выражение введена величина 
, которая называется волновым сопротивлением
последовательного колебательного контура. Полученное выражение (1.10) показывает,
что при выполнении условия r >
ρ в цепи будет иметь место резонанс напряжений. При этом входное
сопротивление двухполюсника будет определяться только его вещественной частью:
|
|
Если
численные параметры цепи такие, что выполняется обратное условие r
< ρ, то резонанса в цепи не будет.
Векторная диаграмма токов и напряжений,
соответствующая резонансному режиму, показана на рис.1.10.
Рис. 1.10. Векторная диаграмма токов и
напряжений
При построении векторной диаграммы
учтено, что ток 
и напряжение 
совпадают по фазе,
т.е. 
. Кроме того должно выполняться равенство 
, что характеризует баланс реактивных мощностей.
Задача решена.